Question

設集合A={x|log

1

2

(x2-7x+14)＞-2}，B={x|ax-3≤(

1

a

)2x-9，a≥0且a≠1}，求A∩B．

Answer 1

分析：根據對數函數y=log

1

2

x在（0，+∞）的單調性，解不等式log

1

2

(x2-7x+14)＞-2，即可求得集合A，利用指數函數y=a^x的單調性解不等式a^x-3≤(

1

a

)2x-9，即可求得集合B，根據集合的交集運算求得結果．

解答：解：由log

1

2

(x2-7x+14)＞-2得0＜x2-7x+14＜4，
解得：2＜x＜5，
∴A={x|2＜x＜5}；
由a^x-3≤(

1

a

)2x-9得a^x-3≤a^9-2x，
當0＜a＜1時，有x-3≥9-2x
∴x≥4，即B={x|x≥4}，
此時A∩B={x|4≤x＜5}；
當a＞1時，有x-3≤9-2x，
∴x≤4，即B={x|x≤4}，
此時A∩B={x|2＜x≤4}．

點評：本題以集合的運算為載體，考查對數函數和指數函數的單調性，并利用函數的單調性求解不等式，體現了分類討論的數學思想方法，特別在解題過程中注意對數函數的定義域，屬中檔題．