Question

已知平面區域的外接圓與軸交于點，橢圓以線段
為長軸，離心率．
(1)求圓及橢圓的方程；
(2)設橢圓的右焦點為，點為圓上異于的動點，過原點作直線的垂線交直線于點，判斷直線與圓的位置關系，并給出證明。

Answer 1

，
當時，，故直線PQ始終與圓C相切

解:（1）由題意可知，平面區域是以及點為頂點的三角形，
∵，∴為直角三角形，∴外接圓以原點為圓心，
線段為直徑，故其方程為．                   ……4分
．又，∴，可得．
∴所求橢圓的方程是．                     ……………6分
（2）直線與圓相切．設，則．
當時，，，∴； ……8分
當時，，∴.                 ……9分
∴直線的方程為．因此，點的坐標為．∵，
∴當時，，；
當時候，，∴，∴．        ………12分
綜上所述，當時，，故直線PQ始終與圓C相切． ………13分