Question

【題目】已知函數f（x）=eax（a≠0）．
（1）當 時，令 （x＞0），求函數g（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）若對于一切x∈R，f（x）﹣x﹣1≥0恒成立，求a的取值集合；
（3）求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a= 時，g（x）= ，則g'（x）= ．

當 ﹣1＞0，即x＞2時，g'（x）＞0；

當 ﹣1＜0且x≠0，即x＜2或0＜x＜2時，g'（x）＜0．

則g（x）的增區間為（2，+∞），減區間為（﹣∞，0），（0，2）．

因為m＞0，所以m+1＞1，

①當m+1≤2，即0＜m≤1時，g（x）在[m，m+1]上單調遞減，

所以g（x）min=g（m+1）=

②當m＜2＜m+1，即1＜m＜2時，g（x）在[m，2]上單調遞減，

在[2，m+1]上單調遞增，所以g（x）min=g（2）=

③當m≥2時，g（x）在[m，m+1]上單調遞增，所以g（x）min=g（m）= ．

綜上，g（x）min=

（2）解：設h（x）=f（x）﹣x﹣1=eax﹣x﹣1

若a＜0，則對一切x＞0，h（x）＜0這與題設矛盾．

又a≠0，故a＞0．而h'（x）=aeax﹣1，令h'（x）=0，得x= ，

當x＜ 時，h'（x）＜0，h（x）單調遞減；

當x＞ 時，h'（x）＞0，h（x）單調遞增．

故當x= 時，h（x）取最小值 ﹣ ﹣1．

于是對一切x∈R，h（x）≥0恒成立，當且僅當 ﹣1≥0①

令φ（x）=t﹣tlnt﹣1，則φ'（x）=﹣lnt

當0＜t＜1時，φ'（t）＞0，φ（t）單調遞增；

當t＞1時，φ'（t）＜0，φ（t）單調遞減，

故當t=1時，φ（t）取最大值φ（1）=0，

因此，當且僅當 =1，即a=1時，①式成立．

綜上所述，a的取值集合為{1}

（3）證明：由（2）可知，當x＞0時，g（x）= ，

所以 （x＞0），

可得 ≤

于是 +

≤

＜

= ＜

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的表達式，求出函數的單調區間，通過討論m的范圍求出函數的最小值即可；（2）設h（x）=f（x）﹣x﹣1=eax﹣x﹣1，求出a＞0，解根據導函數的不等式，求出函數的單調區間，得到當且僅當 ﹣1≥0①令φ（x）=t﹣tlnt﹣1，根據函數的單調性求出a的范圍即可；（3）由g（x）= ，可得 ≤ ，根據不等式的性質證明即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．