Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣ax，g（x）= x2﹣lnx﹣ ．
（1）若f（x）和g（x）在同一點處有相同的極值，求實數a的值；
（2）對于一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2xg（x）﹣x2+5x﹣3恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）設G（x）= x2﹣ ﹣g（x），求證：G（x）＞ ﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵g′（x）=x﹣ = ，∴當x∈（0，1）時，g'（x）＜0，則g（x）單調遞減；當x∈（1，+∞）時，g'（x）＞0，則g（x）單調遞增．∴g（x）極小值=g（1）=﹣2

又∵f（x）和g（x）在同一點處有相同的極值，

∴f（1）=1﹣a=﹣2，即a=3

（2）解：若使對于一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2xg（x）﹣x2+5x﹣3恒成立，則只需使得不等式 恒成立，即只需

設 ，則 ，

∴當x∈（0，1）時，t'（x）＜0，則t（x）單調遞減；當x∈（1，+∞）時，t'（x）＞0，則t（x）單調遞增．

∴t（x）最小值=t（1）=4，

∴a≤4，即a的取值范圍為（﹣∞，4]

（3）解：若證 ，則只需證明 ，即證

設m（x）=xlnx，則m'（x）=lnx+1，由于m（x）在 單調遞減，在 單調遞增，所以 ；設 ，則 ，由于n（x）在（0，1）單調遞增，在（1，+∞）單調遞減，所以 ．

所以m（x）≥n（x）又由于m（x）與n（x）不在同一個變量時取得最值，即m（x）＞n（x）

綜上所述，

【解析】（1）求出函數的導數，判斷導函數的符號，求出函數的極小值，然后列出方程求解a 即可．（2）使對于一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2xg（x）﹣x2+5x﹣3恒成立，轉化為 恒成立，只需 ，構造函數，利用函數的導數求解函數的最小值，推出a的范圍即可．（3）若證 ，則只需證明 ，即證 ，構造函數設m（x）=xlnx，利用函數的單調性求解函數的極值，推出結果即可．
【考點精析】利用函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．