Question

設為實數，記函數的最大值為.
（1）設，求的取值范圍，并把表示為的函數；
（2）求.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

試題分析：觀察到與是有關聯的，平方后就可以看出彼此之間的關聯.這樣就可以化成以t為自變量的函數.那么第二問就轉化成了帶參數的二次函數的最值問題.根據對稱軸進行分類討論即可.
試題解析：（1）因為，
所以要使有意義，必須且，即
因為，且                ①
所以得取值范圍是
由①得
所以，；                2分
（2）由題意知即為函數的最大值.
因為直線是拋物線的對稱軸，
所以可分以下幾種情況進行討論：
當時函數，的圖像是開口向上的拋物線的一段，
由知在上單調遞增，故；     4分
②當時，，，有；                 6分
③當時，函數，的圖像是開口向下的拋物線的一段，
若，即時，，
若，即時，，
若，即時，            9分
綜上，有                         10分