Question

【題目】如圖，在三棱柱中，為的重心，.

（1）求證：平面；

（2）若側(cè)面底面，，，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1） 連接，并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，過作，交于點(diǎn)，分別連接,只要證明所以平面平面，由面面平行的性質(zhì)可證平面；（2）由題意先證明側(cè)面底面，由面面垂直的性質(zhì)可證平面，所以可以為原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量以及直線的方向向量，由空間向量夾角公式求之即可.

試題解析： （1）證明：連接，并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，過作，交于點(diǎn)，分別連接.

因?yàn)?/span>是的重心，所以.………………1分

又，所以.

又據(jù)三棱柱性質(zhì)知，

所以.………………2分

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

又因?yàn)?/span>，平面，

所以平面平面.………………3分

又因?yàn)?/span>平面，

所以平面.………………4分

（2）連接.

因?yàn)?/span>，，，

所以，

所以，所以.

因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，平面，

所以平面.

因?yàn)?/span>，，所以是等邊三角形，

所以.………………6分

以為原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

所以，，，，

所以.………………8分

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

所以

令得，………………10分

所以.

所以.即直線與平面所成角的正弦值為.……………12分