Question

【題目】已知數列，，其前項和滿足，其中．

（1）設，證明：數列是等差數列；

（2）設，為數列的前項和，求證：；

（3）設（為非零整數，），試確定的值，使得對任意，都有成立．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）當時，，，當時，，整理得：，可得，，是首項為，公差為的等差數列；（2）由（1）可知：，利用“錯位相減法”即可求得；（3）由得，整理得：，當為奇數時，；當為偶數時，，由為非零整數，即可求得．

試題解析：（1）當時，，∴，

當時，，

∴，即，

∴（常數），

又，∴是首項為，公差為的等差數列，．

（2），

，，

相減得，

∴．

（2）由，得，

，，，

當為奇數時，，∴；

當為偶數時，，∴，∴，

又為非零整數，∴．