Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，試討論函數(shù)的單調(diào)性，并求出函數(shù)的極值；

（2）若恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）①當時， 在上單調(diào)遞增， 無極值，②當時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 的極大值， 無極小值（2）

【解析】

（1）求出導數(shù)，分，兩類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值（2）原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，對求導數(shù)，分，兩種情況討論，求出最小值，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求最大值即可.

（1）

①當時，的定義域為，，

在上單調(diào)遞增，且無極值

②當時，的定義域為，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

當時，取得極大值，且無極小值

（2），.

若，由知，取，使得，

則，而，

所以，所以，與矛盾

故，且，

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

因此，故

所以

記，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，

所以當，時，取得最大值.