Question

已知向量

m

=(1，1)，向量

n

與向量

m

夾角為

3

4

π，且

m

•

n

=-1．
（1）若向量

n

與向量

q

=（1，0）的夾角為

π

2

，向量

p

=(cosA，2cos2

C

2

)，其中A，C為△ABC的內角，且A，B，C依次成等差數列，試求|

n

+

p

|的取值范圍．
（2）若A、B、C為△ABC的內角，且A，B，C依次成等差數列，A≤B≤C，設f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a²，f（A）的最大值為5-2

2

，關于x的方程sin(ax+

π

3

)=

m

2

(a＞0)在[0，

π

2

]上有相異實根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意先求出向量

n

的坐標滿足有x²+y²=1
（1）由向量

n

與向量

q

=（1，0）的夾角為

π

2

，故有

n

•

q

=0，由此解出向量

n

的坐標，代入|

n

+

p

|²，用相關公式求其范圍，進而求出|

n

+

p

|∈[

2

2

，

5

2

）
（2）先解出B=

π

3

，確定出A的范圍，再對f（A）用換元法變形，求出其最值的表達式，判斷并求出其最大值是1-2

2

+a²，又已知f（A）的最大值為5-2

2

，令兩者相等解出參數a的值，再由sin(2x+

π

3

)=

m

2

在[0，

π

2

]上有相異實根，依據三角函數的性質求出參數m滿足的范圍．

解答：解：（1）令

n

=（x，y），則有cos

3

4

π=

m • n

|m |•| n|

=-

2

2

由

m

•

n

=-1得|

m

|•|

n

|=

2

，又向量

m

=(1，1)，故其模為

2

，
則向量

n

人模為1．則有x²+y²=1
向量

n

與向量

q

=（1，0）的夾角為

π

2

，故有

n

•

q

=0，即x=0，故y=±1
又

m

•

n

=-1故y=-1，則

n

=（0，-1），
 向量

p

=(cosA，2cos2

C

2

)，即

p

=(cosA，1+cosC)
又A，C為△ABC的內角，且A，B，C依次成等差數列 故B=

π

3

|

n

+

p

|²=cos²A+cos²C=cos²A+cos²（

2π

3

-A）=1+

1

2

cos（2A+

π

3

）
由A∈（0，

2π

3

），得2A+

π

3

∈（

π

3

，

5π

3

）得cos（2A+

π

3

）∈[-1，

1

2

）
|

n

+

p

|²∈[

1

2

，

5

4

）故|

n

+

p

|∈[

2

2

，

5

2

）
（2）∵A、B、C為△ABC的內角，且A，B，C依次成等差數列，A≤B≤C，∴B=

π

3

∴f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a²=2sinAcosA-2（sinA+cosA）+a² 
令t=sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

），則2sinAcosA=t²-1
由于A∈（0，

π

3

]，A+

π

4

∈（

π

4

，

7π

12

]，故t=

2

sin（A+

π

4

）∈（1，

2

]
故有f（A）=t²-1-2t+a²=t²-2t+a²-1，t∈（1，

2

]
當t=

2

時取到最大值為1-2

2

+a²
又f（A）的最大值為5-2

2

，故1-2

2

+a²=5-2

2

故a²=4，又a＞0，故a=2
又關于的方程sin(ax+

π

3

)=

m

2

(a＞0)在[0，

π

2

]上有相異實根
即方程sin(2x+

π

3

)=

m

2

在[0，

π

2

]上有相異實根
因為x∈[0，

π

2

]，故y=sin(2x+

π

3

)在（0，

π

12

）上是增函數，在（

π

12

，

π

2

）上是減函數
方程sin(2x+

π

3

)=

m

2

在[0，

π

2

]上有相異實根
故

m

2

∈[

3

2

，1），
故m∈[

3

，2）．

點評：本題考點是三角函數的最值，綜合利用二次函數的最值，向量的運算，三角函數的恒等變形，三角函數的最值，及三角函數的圖象，涉及到知識廣度高，綜合性強，做題時要有耐心地對題目中所給的每一個條件細心、嚴謹轉化，對每一個條件所蘊含的本質進行挖掘，逐步向結論靠近，如本題中第二小題，逐層推進比較明顯，答題過程中仔細體會此思維脈絡．