Question

已知向量

m

=(

3

sin

x

4

，1)，

n

=(cos

x

4

，cos2

x

4

)，記f(x)=

m

•

n

，
（1）求f（x）的值域和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，若f(A)=

1+ 3

2

，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，競夸輕俊函數(shù)的值域，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）利用正弦定理以及兩角和的正弦函數(shù)求出B的余弦函數(shù)值，利用f(A)=

1+ 3

2

求出A的值，即可判斷三角形的形狀．

解答：解：因為向量

m

=(

3

sin

x

4

，1)，

n

=(cos

x

4

，cos2

x

4

)，
所以f(x)=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

（1）f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

，值域[-

1

2

，

3

2

]．
令2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

得4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

，k∈Z，
單調(diào)增區(qū)間是[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]，k∈Z．
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA
∵sinA＞0，∴cosB=

1

2

∵B∈（0，π），∴B=

π

3

∵f(A)=

1+ 3

2

，
∴sin（

A

2

+

π

6

）=

3

2

∴

A

2

+

π

6

=

π

3

或

A

2

+

π

6

=

2π

3

∴A=

π

3

或A=π（舍去）
∴C=

π

3

∴A=

π

3

，B=

π

3

，C=

π

3

，所以三角形為等邊三角形．

點評：本題考查向量與三角函數(shù)知識的綜合，考查三角函數(shù)的化簡，考查正弦定理的運用，正確運用公式是關(guān)鍵．