Question

如果直線y=kx+1與圓x²+y²+kx+my-4=0交于M、N兩點，且M、N關于直線x+y=0對稱，那么可求得圓心的橫坐標為

 

，直線被圓所截得的弦MN的長度為

 

．

Answer 1

分析：直線y=kx+1與圓x²+y²+kx+my-4=0交于M、N兩點，且M、N關于直線x+y=0對稱，直線x+y=0過圓心，且與直線y=kx+1垂直；求出k再求m，弦長可以求解．

解答：解：由題意可知，直線x+y=0過圓心，且與直線y=kx+1垂直，∴k=1，圓x²+y²+kx+my-4=0的圓心的橫坐標為-

k

2

=-

1

2

，
圓心坐標（-

1

2

，-

m

2

）在直線x+y=0上，所以m=-1，圓心坐標（-

1

2

，

1

2

），它在直線y=x+1上，
圓的半徑是

3 2

2

，因而弦長是直徑3

2

．
故答案為：-

1

2

、3

2

．

點評：本題考查對稱知識，圓的一般方程，弦長的求法等知識；是中檔題．