Question

【題目】已知函數.

（1）若，求函數的單調區間；

（2）若方程在區間內有解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數的單調增區間是，單調減區間是和.

（2）

【解析】

（1）將代入解析式，求出，利用導數與函數單調性的關系即可求解.

（2）由題意可知，其中，分類討論或：當時，利用導數判斷出函數的單調性，再利用零點存在性定理即可判斷有解；當時，由，得，分類討論當或，利用導數判斷函數的單調性，求出函數的最大值，根據最大值結合函數的單調性即可求解.

解：（1）由題意可得

則，

令，得，

當時，，所以單調遞減；

當時，，所以單調遞增；

當時，，所以單調遞減；

所以函數的單調增區間是，

單調減區間是和.

（2）由題意可知，其中，

①當時，由于，得，故在上為增函數，

且，所以方程在有解；

②當時，由，得，（舍）.

（i）當，即時，

因為，所以，即，

故，所以在上為減函數，

所以，

所以此時方程在區間沒有解；

（ii）當，即時，在上為增函數，

在上為減函數，所以當時，

方程在區間才有解，

而，

由，解得時，或（不合題意，舍去），

所以，當時，方程在區間有解；

綜上，當時，方程在區間有解.