Question

【題目】已知橢圓：.

（1）曲線：與相交于，兩點，為上異于，的點，若直線的斜率為1，求直線的斜率；

（2）若的左焦點為，右頂點為，直線：.過的直線與相交于，（在第一象限）兩點，與相交于，是否存在使的面積等于的面積與的面積之和.若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線不存在，理由見解析

【解析】

(1)設,,,利用點差法可得,從而求出;

(2)假設存在滿足題意,設,,,由,,,可得①,設:,令,得,故②,再聯立直線與橢圓方程,得到韋達定理,將之與②聯立求解,若有解,則直線存在,若無解,則直線不存在.

(1)由已知設,,,

因為點均在橢圓上,

所以,,

兩式相減得,

又,且,

∴;

(2)設,,,

則,

,

,

假設存在使得的面積等于的面積與的面積之和,

則,即①,

設:,令,得,∴②,

把,將之代入,整理得,

∴③,

④,

②③聯立得,⑤,

把⑤代入④得,

化簡得,

由于此方程無解,故所求直線不存在.