Question

【題目】函數，，已知曲線與在原點處的切線相同．

（1）求的單調區間；

（2）當時，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）.

【解析】

試題分析：（1）借助條件確定的表達式，然后求導，解不等式得單調區間；（2）構建新函數，借助最值建立關于的不等關系.

試題解析：解：（1）∵（），，

依題意，，解得，

∴，

當時，；當時，，

故的單調遞減區間為，單調遞增區間為．

（2）令，

由（1）知：，∴，即，

∴．

(i)若，則

∴在上是增函數，

∴，

∴成立．

(ii)若，由（1）知，則，

由(i)知：，

∴成立．

(iii)若，則，則，

顯然在上單調遞增，

又，，

∴在上存在唯一零點，

當時，，所以在上單調遞減，

從而，即，

∴在上單調遞減，

從而當時，，即，不合題意．

綜上，實數的取值范圍為．