Question

【題目】定義在R上的奇函數f（x），當x＞0時，f（x）=x﹣2
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）＜2的解集．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知：f（﹣0）=﹣f（0）=f（0），f（0）=0；

當x＜0時，則﹣x＞0，

因為當x＞0時，f（x）=x﹣2，

所以f（﹣x）=﹣x﹣2，

又因為f（x）是定義在R上的奇函數，

所以f（﹣x）=﹣f（x），

所以f（x）=x+2，

所以f（x）的表達式為：f（x）=

（2）解：x＜0時，x+2＜2，∴x＜0；

x=0，符合題意；

x＞0時，x﹣2＜2，∴x＜4，∴0＜x＜4．

∴不等式的解集為（﹣∞，4）

【解析】（1）先根據f（x）是定義在R上的奇函數，得到f（0）=0，再設x＜0時，則﹣x＞0，結合題意得到f（﹣x）=﹣x﹣2，然后利用函數的奇偶性進行化簡，進而得到函數的解析式．（2）利用（1）的結論，即可求不等式f（x）＜2的解集．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．