Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= 為奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）試判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明；
（3）對(duì)任意的x∈R，不等式f（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函數(shù)為奇函數(shù)可得f（0）= =0，解得a=﹣1
（2）解：由（1）可得f（x）= = =1﹣ ，

可得函數(shù)在R上單調(diào)遞增，下面證明：

任取實(shí)數(shù)x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）

= ﹣ = ＜0，

∴函數(shù)f（x）= R上的增函數(shù)

（3）解：∵函數(shù)f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x趨向于正無窮大時(shí)，f（x）趨向于1，

要使不等式f（x）＜m恒成立，則需m≥1

【解析】（1）解f（0）=0可得a值；（2）由單調(diào)性的定義可得；（3）由（1）（2）可得函數(shù)f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x趨向于正無窮大時(shí)，f（x）趨向于1，可得m≥1．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，需要了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇才能得出正確答案．