Question

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作直線交橢圓于兩點，交軸于點，滿足，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）或.

【解析】

（1）設出右焦點的坐標，通過點到直線距離公式，可以求出的值，根據已知可知離心率，進而可以求出的值，利用，可以求出，最后求出橢圓的標準方程；

（2）設出直線交橢圓于兩點的坐標，利用，可以求出兩點縱坐標的關系，直線的方程與橢圓的方程聯立，利用根與系數的關系，可以求出直線的斜率，進而求出直線的方程.

（1）設右焦點為，則，或 （舍去）．

又離心率，即，解得，則，

故橢圓的方程為.

（2）設，因，

所以，　①，

易知當直線的斜率不存在或斜率為0時，①不成立，

于是設的方程為，聯立消去得，

因為，所以直線與橢圓相交．

于是　②，　③，

由①②得，，代入③整理得.

所以直線的方程是或.