Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：－y＋3＋＝0和圓：＋＋8x＋F＝0．若直線l被圓截得的弦長為．

（1）求圓的方程；

（2）設圓和x軸相交于A，B兩點，點P為圓上不同于A，B的任意一點，直線PA，PB交y軸于M，N兩點．當點P變化時，以MN為直徑的圓是否經過圓內一定點？請證明你的結論；

（3）若△RST的頂點R在直線x＝－1上，點S，T在圓上，且直線RS過圓心，∠SRT＝，求點R的縱坐標的范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）圓經過圓內一定點；（3）

【解析】

（1）根據垂徑定理列方程解得F，即得結果；

（2）設點P坐標，表示出M，N兩點坐標，利用向量寫出以MN為直徑的圓，再根據方程確定其定點；

（3）根據到距離不大于半徑，確定范圍，進而可得點R的縱坐標的范圍.

（1）

所以圓的方程為；

（2）和x軸相交于,不妨設

設，則，所以,

因此以MN為直徑的圓為

從而

因為當時

因此圓過定點，而在圓內，

所以圓經過圓內一定點；

（3）設到距離為，則

設，則

所以點R的縱坐標的范圍為.