Question

（2009•金山區一模）已知等差數列{a_n}滿足：a₁+a_2n-1=2n，（n∈N*），設S_n是數列{

1

an

}的前n項和，記f（n）=S_2n-S_n，
（1）求a_n；（n∈N*）
（2）比較f（n+1）與f（n）的大小；（n∈N*）
（3）如果函數g（x）=log₂x-12f（n）（其中x∈[a，b]）對于一切大于1的自然數n，其函數值都小于零，那么a、b應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）因為數列{a_n}為等差數列，所以數列中的每一項均可用首項和公差表示，代入a₁+a_2n-1=2n，即可求出a_n．
（2）根據等差數列的通項公式，求出函數f（n）的表達式，再用作差法比較f（n+1）與f（n）的大小．
（3）如果函數g（x）=log₂x-12f（n）（其中x∈[a，b]）對于一切大于1的自然數n，其函數值都小于零，則log₂x-12f（n）＜0恒成立，即當x∈[a，b]時，log₂x小于12f（n）的最小值，根據f（n）的單調性求出最小值即可．

解答：解：（1）設a_n=a₁+（n-1）d，（n∈N*），由a₁+a_2n-1=2n，得a₁+a₁+（2n-1-1）d=2n，
所以a_n=n
（2）由S_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

1

+

1

2

+…+

1

n

f（n）=S_2n-S_n=（

1

1

+

1

2

+…+

1

2n

）-（

1

1

+

1

2

+…+

1

n

）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

因為f（n+1）-f（n）=（

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

）-（

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

）
=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0
所以f（n+1）＞f（n） 
（3）由（2）可知：數列{f（n）}的項的取值是隨n的增大而增大，
當n≥2時，f（n）的最小值為f（2）=

1

3

+

1

4

=

7

12

由函數y=log₂x的性質可知，在區間（0，2⁷）上的函數值恒小于7，
所以a、b應滿足條件0＜a＜b＜2⁷．

點評：本題主要考查了函數與數列的綜合運用，注意兩個知識點的結合．