Question

設命題p：關于x的方程x²+ax+1=0無實根；命題q：函數f（x）=lg（ax²+（a-2）x+

9

8

）的定義域為R，若命題“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，求實數a的取值范圍

（-2，

1

2

]∪[2，8）

．

Answer 1

分析：由方程x²+ax+1=0無實根可得，△=a²-4＜0，解不等式可求P
由f（x）=lg（ax²+（a-2）x+

9

8

）的定義域為R，可得ax²+（a-2）x+

9

8

＞0恒成立，結合二次函數的性質可求q的范圍，然后由命題“p或q”是真命題，“p且q”是假命題可得p，q一真一假，可求

解答：解：∵方程x²+ax+1=0無實根
∴△=a²-4＜0
∴-2＜a＜2
即p：-2＜a＜2
∵函數f（x）=lg（ax²+（a-2）x+

9

8

）的定義域為R，
∴ax²+（a-2）x+

9

8

＞0恒成立
①a=0時，-2x+

9

8

＞0不恒成立
②

a＞0 △=(a-2)2- 9a 2 ＜0

解可得，

1

2

＜a＜8
即q：

1

2

＜a＜8
∵命題“p或q”是真命題，“p且q”是假命題
∴p，q一真一假
若p真q假，則

-2＜a＜2 a≥8或a≤ 1 2

，即-2＜a≤

1

2

若p假q真，則

a≥2或a≤-2 1 2 ＜a＜8

，即2≤a＜8
綜上可得，-2＜a≤

1

2

或2≤a＜8
故答案為：（-2，

1

2

]∪[2，8）

點評：本題主要考查了復合命題的真假關系的應用，解題的關鍵是靈活利用基本知識，準確求出相應參數的范圍