Question

（本小題滿分13分）
已知橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且短軸長(zhǎng)為4，離心率為。
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，斜率為1的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且
，求直線l的方程。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a（a>0），短半軸長(zhǎng)為b（b>0），
則2b=4，。            2分
解得a=4，b=2。                      3分
因?yàn)闄E圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，
所以橢圓C的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，且為。     5分
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）,     6分
由方程組，消去y，
得，      7分
由題意，得， 8分
且，  9分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240035312391060.png" style="vertical-align:middle;" />
， 11分
所以，解得m=±2,
驗(yàn)證知△＞0成立，
所以直線l的方程為。      13分
點(diǎn)評(píng)：直線與橢圓相交問(wèn)題常借助與韋達(dá)定理設(shè)而不求簡(jiǎn)化計(jì)算，本題涉及到的弦長(zhǎng)公式，其中k是直線斜率，是兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)