Question

（2012•許昌縣一模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，短軸長是2．
（I）求橢圓的方程；
（II）斜率為k經過M （O，

2

）的直線與橢圓交于P，Q兩點，是否在實數k使

OP

•

OQ

=0成立，若存在，求出k值．若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，短軸長是2，可求幾何量，從而可求橢圓的方程；
（II）假設存在，設直線l：y=kx+

2

，代入

x2

2

+y2=1可得(1+2k2)x2+4

2

kx+2=0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據

OP

•

OQ

=0，可得x₁x₂+y₁y₂=0，結合韋達定理，即可求得結論．

解答：解：（I）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，短軸長是2．
∴

c

a

=

2

2

，b=1
∵a²=b²+c²
∴a=

2

，c=1
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（II）假設存在，設直線l：y=kx+

2

，代入

x2

2

+y2=1可得(1+2k2)x2+4

2

kx+2=0
由△=32k²-4×2（1+2k²）＞0，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x1+x2=-

4 2 k

1+2k2

，x1x2=

2

1+2k2

∴y1y2=(kx1+

2

)(kx2+

2

)=k2x1x2+

2

k(x1+x2)+2=

2-2k2

1+2k2

∵

OP

•

OQ

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴

2

1+2k2

+

2-2k2

1+2k2

=0
∴k²=2
∴k=±

2

滿足題意
∴存在k=±

2

，使命題成立．

點評：本題重點考查橢圓的標準方程，考查存在性問題的探究，解題的關鍵是將向量條件

OP

•

OQ

=0，轉化為坐標之間的關系x₁x₂+y₁y₂=0．