Question

【題目】已知函數 .

（1）當時,求曲線在點處的切線方程;

（2）討論函數的單調區間;

（3）求證：若函數在處取得極值,則對恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時, 單調減區間,無增區間；當時, 單調增區間,單調減區間；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求出,,求出的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）分四種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間， 求得的范圍，可得函數的減區間；（3）由，計算得出,取經檢驗滿足條件， ,則,令利用導數求出的最小值即可得結果.

試題解析：（1）因為,當時, ,

當, ,

所以曲線在點處的切線方程.

（2）因為在, ,

當時, 在上單調遞減.

當時, .

當時, , 單調遞減;

當時, , 單調遞增;

綜上所述,當時, 單調減區間,無增區間.

當時, 單調增區間,單調減區間.

（3）因為函數在處取得極值,所以

計算得出,取經檢驗滿足條件.

由已知,則,

令

易得在區間上遞減,在區間上遞增,

所以即,

所以若函數在處取得極值,對恒成立.

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線方程以及利用導數研究函數的單調性及不等式恒成立問題，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.