Question

【題目】已知圓.

（1）求圓心C的坐標及半徑r的大小；

（2）已知不過原點的直線l與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等，求直線l的方程；

（3）從圓外一點向圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且，求點P的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）圓心C的坐標為，半徑為（2）或（3）

【解析】

（1）對一般方程進行配方即可容易求得圓心和半徑；

（2）設出直線方程，利用直線與圓相切，即可求得參數，則問題得解；

（3）根據直線與圓相切，將已知條件轉化為，化簡整理即可.

（1）圓C的方程變形為，

∴圓心C的坐標為，半徑為.

（2）∵直線l在兩坐標軸上的截距相等且不為零，

故直線的斜率為.

∴設直線l的方程為，

又直線與圓相切，

故，整理得

∴或.

∴所求直線l的方程為或.

（3）連接，則切線和垂直，連接，如下圖所示：

∴，

又，

故可得

即，

∴點P的軌跡方程為.