Question

直線ax＋by＝1與圓x²＋y²＝1相交于A，B兩點(其中a，b是實數)，且△AOB是直角三角形(O是坐標原點)，則點P(a，b)與點(0,1)之間距離的最小值為________．

Answer 1

－1

根據題意畫出圖形，如圖所示，

過點O作OC⊥AB于C，因為△AOB為等腰直角三角形，所以C為弦AB的中點，又|OA|＝|OB|＝1，根據勾股定理得|AB|＝，∴|OC|＝|AB|＝.
∴圓心到直線的距離為＝，即2a²＋b²＝2，即a²＝－b²＋1≥0.
∴－≤b≤.則點P(a，b)與點(0,1)之間距離d＝＝＝.
設f(b)＝b²－2b＋2＝(b－2)²，此函數為對稱軸為x＝2的開口向上的拋物線，∴當－≤b≤<2時，函數為減函數．
∵f()＝3－2，∴d的最小值為＝＝－1