Question

小波以游戲方式?jīng)Q定參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊(duì).游戲規(guī)則為:以O(shè)為起點(diǎn),再?gòu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/89/4/8kvm12.png" style="vertical-align:middle;" />(如圖)這8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量,記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為.若就參加學(xué)校合唱團(tuán),否則就參加學(xué)校排球隊(duì).

（I）求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率；
（II）求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

（I）小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率為.
（II）的分布列為:

.

解析試題分析：（I）觀察圖形，確定從8個(gè)點(diǎn)中任意取兩點(diǎn)為向量終點(diǎn)的方法數(shù)；
計(jì)算時(shí),兩向量夾角為直角的情況數(shù)；
應(yīng)用古典概型概率的計(jì)算公式計(jì)算“小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率”.
（II）注意到兩向量數(shù)量積的所有可能取值為
分別計(jì)算相應(yīng)概率，寫出的分布列.關(guān)鍵是計(jì)算概率要準(zhǔn)確.
利用數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式得到.
本題難度不大，突出了對(duì)古典概型概率的計(jì)算方法，以及數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式等所學(xué)知識(shí)的考查.
試題解析：（I）從8個(gè)點(diǎn)中任意取兩點(diǎn)為向量終點(diǎn)的不同取法共有種,時(shí),兩向量夾角為直角共有8種情形;所以小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率為.         4分
（II）兩向量數(shù)量積的所有可能取值為
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí),有2種情形
當(dāng)時(shí),有8種情形
當(dāng)時(shí),有10種情形.        8分
所以的分布列為:

                                                                  10分
.          12分
考點(diǎn)：古典概型概率的計(jì)算，離散性隨機(jī)變量的分布列、期望.