Question

已知定義域為R的偶函數f（x）在[0，+∞）上是增函數，且f（

1

2

）=0，求不等式f（log₄x）＞0的解集．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：根據函數奇偶性和單調性之間的關系，將不等式進行轉化即可．

解答： 解：∵f（x）是偶函數，∴f（-

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）=f（

1

2

）=0，…（2分）
又∵f（x）在[0，+∞）上是增函數，∴f（x）在（-∞，0]上是減函數，…（4分）
∴f（log₄x）＞0等價為f（|log₄x|）＞f（

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2

），
即|log₄x|＞

1

2

，
則log₄x＞

1

2

或log₄x＜-

1

2

，…（8分）
∴x＞2或0＜x＜

1

2

．…（10分）
故不等式的解集是 （0，

1

2

）∪（2，+∞）     …（12分）

點評：本題主要考查不等式的求解，根據函數奇偶性和單調性之間的關系進行轉化是解決本題的關鍵．