Question

【題目】設函數f(x)＝1－x2＋ln(x＋1).

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)若不等式f(x)＞－x2(k∈N*)在(0，＋∞)上恒成立，求k的最大值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)3

【解析】

（1）首先求出f（x）的定義域，函數f（x）的導數，分別令它大于0，小于0，解不等式，必須注意定義域，求交集；

（2）化簡不等式f（x）＞﹣x2，得：（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx，令g（x）=（x+1））[1+ln（x+1）]﹣kx，求出g'（x），由x＞0，求出2+ln（x+1）＞2，討論k，分k≤2，k＞2，由恒成立結合單調性判斷k的取值，從而得到k的最大值．

（1）函數f（x）的定義域為（﹣1，+∞），

函數f（x）的導數f'（x）=﹣2x+，

令f'（x）＞0則＞2x，

解得，

令f'（x）＜0則，

解得x＞或x＜，

∵x＞﹣1，

∴f（x）的單調增區間為（﹣1，），

單調減區間為（，+∞）；

（2）不等式f（x）＞﹣x2

即1﹣x2+ln（x+1）＞，即1+ln（x+1）＞，

即（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx（k∈N*）在（0，+∞）上恒成立，

令g（x）=（x+1））[1+ln（x+1）]﹣kx，則

g'（x）=2+ln（x+1）﹣k，

∵x＞0，∴2+ln（x+1）＞2，

若k≤2，則g'（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上遞增，

∴g（x）＞g（0）即g（x）＞1＞0，

∴（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx（k∈N*）在（0，+∞）上恒成立；

若k＞2，可以進一步分析，只需滿足最小值比0大，即可，

結合K為正整數，故k的最大值為3．