Question

（2010•孝感模擬）已知函數

f(x)= e-x-1，(x≤0) |lnx|，(x＞0)

，集合M={x|f[f（x）]=1}，則M中元素的個數為（　　）

A．3個

B．4個

C．6個

D．9個

Answer 1

分析：根據分段函數

f(x)= e-x-1，(x≤0) |lnx|，(x＞0)

的解析式，我們結合集合元素要滿足的性質f[f （x）]=1，易通過分類討論求了所有滿足條件的x的值，進而確定集合中元素的個數．

解答：解：①當x＜0時，f（x）=(

1

e

)x-1＞0
由f[f（x）]=|loge[(

1

e

)x-1]|=1，
⇒loge[(

1

e

)x-1]=1或loge[(

1

e

)x-1]=-1
⇒(

1

e

)x-1=e或(

1

e

)x-1=

1

e

，
得x=-ln（e+1）或x=-ln（

1

e

+1）；
②當x＞0且x≠1時，f（x）=|lnx|＞0，
由f[f（x）]=|ln|lnx||=1，得x=e^e，e^-e，e

1

e

 或e-

1

e

；
③當x=1時，f（x）=|ln1|=0，
由f[f（x）]=e⁰-1=1，得x∈∅．
④當x=0時，f（x）=e⁰-1=0，
由f[f（x）]=e⁰-1=1，得x∈∅．
∴M={e^e，e^-e，e

1

e

，e-

1

e

，-ln（e+1），-ln（

1

e

+1）}．
故選C．

點評：本題考查的知識點是集合中元素的個數及分段函數的函數值，其中根據分段函數的解析式，利用分類討論的思想構造關于x的方程是解答本題的關鍵．