Question

【題目】如圖，已知長方形中， ， 為的中點，將沿折起，使得平面平面，設點是線段上的一動點（不與， 重合）．

（Ⅰ）當時，求三棱錐的體積；

（Ⅱ）求證： 不可能與垂直．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析．

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由于折疊時有平面平面，因此取中點，則有，從而有平面，因此是三棱錐的高，求出高和底面積可得體積；

（Ⅱ）假設能與垂直，由已知又可得，從而平面，因此有，從而有平面，因此，這是不可能的，結論得出．

試題解析：

（Ⅰ）取的中點，連接．

∵，∴，又為的中點，

∴，

∵平面平面，又平面， 平面，

∴平面．

∵，∴，

又，

∴．

（Ⅱ）假設．

由（Ⅰ）可知， 平面，∴．

在長方形中， ，

∴、都是等腰直角三角形，∴．　

而、平面， ，

∴平面．

而平面，

∴．

由假設， 、平面， ，

∴平面，

而平面，∴，

這與已知是長方形矛盾，

所以， 不可能與垂直．