【題目】已知拋物線
的焦點為
，過點
的直線
交拋物線
于
和
兩點.
（1）當
時，求直線的方程；
（2）若過點且垂直于直線的直線
與拋物線交于
、
兩點，記
與
的面積分別為
與
，求
的最小值.
【答案】（1）
或
；（2）
.
【解析】
（1）設直線
的方程為
，設點
、
，將直線的方程與拋物線
的方程聯立，列出韋達定理，結合條件
可求得
的值，進而可求得直線的方程；
（2）設直線的方程為，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，利用弦長公式求得
，利用三角形的面積公式可求得
，同理可得出
的表達式，然后利用基本不等式可求得
的最小值.
（1）直線過的定點
在橫軸上，且直線與拋物線相交，則斜率一定不能為
，所以可設直線方程為.
聯立
，消去
得
，
由韋達定理得
，
，
所以
.
因為，所以
，解得
.
所以直線的方程為或；
（2）根據（1），設直線的方程為.
聯立，消去得，
由韋達定理得，，
則
.
因為直線
與直線垂直，
且當
時，直線的方程為
，則此時直線
的方程為
.但此時直線與拋物線沒有兩個交點，
所以不符合題意，所以
.
所以直線的斜率為
，可得
，
，
當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.
全能測控期末小狀元系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，點
，（
）在曲線C：
上，直線l過點
且與
垂直，垂足為P．
（Ⅰ）當
時，求在直角坐標系下點P坐標和l的方程；
（Ⅱ）當M在C上運動且P在線段上時，求點P在極坐標系下的軌跡方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】(2017·衢州調研)已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AD的中點M是頂點P在底面ABCD的射影，N是PC的中點.
(1)求證：平面MPB⊥平面PBC；
(2)若MP＝MC，求直線BN與平面PMC所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐
中，
是邊長為2的正三角形，
是等腰直角三角形，
.
（I）證明：平面
平面ABC；
（II）點E在BD上，若平面ACE把三棱錐分成體積相等的兩部分，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點（1，e），（e，
）在橢圓上C：
1（a＞b＞0），其中e為橢圓的離心率.
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l經過C的上頂點且l與拋物線M：y2＝4x交于P，Q兩點，F為橢圓的左焦點，直線FP，FQ與M分別交于點D（異于點P），E（異于點Q），證明：直線DE的斜率為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
．
（Ⅰ）當
時，求曲線
在
處的切線方程；
（Ⅱ）設函數
，試判斷函數
是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）當
時，寫出
與
的大小關系．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，已知點
，
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求的普通方程和的直角坐標方程；
（2）設曲線與曲線相交于
，
兩點，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，且滿足_______.
（Ⅰ）求函數
的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）若關于
的方程
在區間
上有兩個不同解，求實數
的取值范圍.從①的最大值為
，②的圖象與直線
的兩個相鄰交點的距離等于
，③的圖象過點
.這三個條件中選擇一個，補充在上面問題中并作答.
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