Question

已知橢圓的長軸長為4，離心率為，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為其左右焦點(diǎn)．一動(dòng)圓過點(diǎn)F₂，且與直線x=-1相切．
（Ⅰ） （ⅰ）求橢圓C₁的方程；（ⅱ）求動(dòng)圓圓心軌跡C的方程；
（Ⅱ）在曲線C上有四個(gè)不同的點(diǎn)M，N，P，Q，滿足與共線，與共線，且，求四邊形PMQN面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法求出橢圓C₁的a，b，c即可；因一動(dòng)圓過點(diǎn)F₂，且與直線x=-1相切可得此圓心到定點(diǎn)和到定直線的距離相等，它是拋物線，從而解決；
（Ⅱ）欲求四邊形PMQN面積的最小值，先建立面積關(guān)于某一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式，設(shè)直線MN的方程為：y=k（x-1）
利用拋物線定義求出|MN|，再結(jié)合向量垂直關(guān)系求得|PQ|，最后利用基本不等式求出所列函數(shù)的最小值即可．
解答：解：（Ⅰ）（ⅰ）由已知可得，
則所求橢圓方程．
（ⅱ）由已知可得動(dòng)圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線C的焦點(diǎn)為（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，則動(dòng)圓圓心軌跡方程為C：y²=4x．
（Ⅱ）由題設(shè)知直線MN，PQ的斜率均存在且不為零
設(shè)直線MN的斜率為k（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則直線MN的方程為：y=k（x-1）
聯(lián)立C：y²=4x消去y可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由拋物線定義可知：
設(shè)直線PQ的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立得
化簡后，利用弦長公式可得|PQ|=
又
令1+k²=t＞1
故有
又∈（0，3）
可得
所以四邊形PMQN面積的最小值為8．
點(diǎn)評：本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎(chǔ)知識，以及求平面圖形面積最小值的基本技能和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．