Question

已知M（0，-2），點A在x軸上，點B在y軸的正半軸，點P在直線AB上，且滿足

AP

=

PB

，

MA

•

AP

=0．
（1）當A點在x軸上移動時，求動點P的軌跡C的方程；
（2）過（-2，0）的直線l與軌跡C交于E、F兩點，又過E、F作軌跡C的切線l₁、l₂，當l₁⊥l₂時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y），A（x_A，0），B（0，y_B），y_B＞0．則

AP

=（x-x_A，y），

PB

=（-x，y_B-y）．由

AP

=

PB

，得x_A=2x，y_B=2y．由

MA

•

AP

=0得到動點P的軌跡C的方程．
（2）設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），因為y′=2x，故兩切線的斜率分別為2x₁、2x₂．由方程組

x2=y y=k(x+2)

得x²-kx-2k=0，然后由根與系數的關系能夠導出直線l的方程．

解答：解：（1）設P（x，y），A（x_A，0），B（0，y_B），y_B＞0．則

AP

=（x-x_A，y），

PB

=（-x，y_B-y）．
由

AP

=

PB

，得

x-xA=-x y=yB-y

即x_A=2x，y_B=2y．
又

MA

=（x_A，2），

AP

=（x-x_A，y），
∴

MA

=（2x，2），

AP

=（-x，y）．
由

MA

•

AP

=0得x²=y（y≥0）．
（2）設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
因為y′=2x，故兩切線的斜率分別為2x₁、2x₂．
由方程組

x2=y y=k(x+2)

得x²-kx-2k=0，
x₁+x₂=k，x₁x₂=-2k．
當l₁⊥l₂時，4x₁x₂=-1，所以k=

1

8

．
所以，直線l的方程是y=

1

8

（x+2）．

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要注意挖掘隱含條件，根據實際情況注意公式的靈活運用．