Question

設數列{a_n}滿足a₁=0,a_a+1=c+1-c,n∈N*,其中c為實數。

（Ⅰ）證明：a_n∈[0，1]對任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈[0,1],

（Ⅱ）設0<c<,證明：a_n≥1-(3c)^n-1, n∈N*;

（Ⅲ）設0<c<,證明：．

Answer 1

解：（I）必要性: ∵,∴,又,∴,即

充分性:設,對成立,用數學歸納法證明:

當n=1時, .

假設,則且,∴

由數學歸納法知, 成立.

（Ⅱ）設，當n=1時, ，結論成立。

當n≥2時，∵∴

∵，由（I）知，∴且

∴，

∴

∴

（Ⅲ）設，當n=1時，，結論成立。

當n≥2時，由（Ⅱ）知，

∴

∴=