Question

傾斜角為

π

4

的直線l經過拋物線y²=4x的焦點，且與拋物線相交于A、B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

分析：先根據題意寫出直線的方程，再將直線的方程與拋物線y²=4x的方程組成方程組，消去y得到關于x的二次方程，最后利用根與系數的關系結合拋物線的定義即可求線段AB的長．

解答：解：設A（x₁，），B（x₂，），A，B到準線的距離分別為d_A，d_B，
由拋物線的定義可知|AF|=d_A=x₁+1，|BF|=d_B=x₂+1，于是|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2．（3分）
由已知得拋物線的焦點為F（1，0），斜率k=tan

π

4

=1，所以直線AB方程為y=x-1．（6分）
將y=x-1代入方程y²=4x，得（x-1）²=4x，化簡得x²-6x+1=0．
由求根公式得x₁=3+2

2

，x₂=3-2

2

，（9分）
于是|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2=8．
所以，線段AB的長是8．（12分）

點評：本題主要考查了拋物線的應用以及直線與圓錐曲線的綜合問題和方程的思想，屬中檔題．