Question

【題目】在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫療物資生產企業加班加點生產口罩、防護服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫療物資供應，在國際社會上贏得一片贊譽．我國某口罩生產廠商在加大生產的同時．狠抓質量管理，不定時抽查口罩質量，該廠質檢人員從某日所生產的口罩中隨機抽取了100個，將其質量指標值分成以下五組：，，，，，得到如下頻率分布直方圖．

（1）規定：口罩的質量指標值越高，說明該口罩質量越好，其中質量指標值低于130的為二級口罩，質量指標值不低于130的為一級口罩．現從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機抽取8個口罩，再從中抽取3個，記其中一級口罩個數為，求的分布列及數學期望；

（2）在2020年“五一”勞動節前，甲，乙兩人計劃同時在該型號口罩的某網絡購物平臺上分別參加、兩店各一個訂單“秒殺”搶購，其中每個訂單由個該型號口罩構成．假定甲、乙兩人在、兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為，，記甲、乙兩人搶購成功的訂單總數量、口罩總數量分別為，，

①求的分布列及數學期望；

②求當的數學期望取最大值時正整數的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析，（2）①見解析；②6

【解析】

（1）根據分層抽樣可得二級、一級口罩個數，然后寫出的所有可得取值并計算相應的概率，列出分布列并根據數學期望公式可得結果.

（2）①寫出寫出的所有可得取值并計算相應的概率，列出分布列并根據數學期望公式可得結果.②根據，使用換元法并構造函數，然后利用導數判斷函數單調性，進一步可得取最大值的條件.

（1）按分層抽樣抽取8個口罩，則其中二級、一級口罩個數分別為6，2．故的可能取值為0，1，2．

，

，

，

的分布列為

	0	1	2

所以．

（2）①由題知的可能取值為0，1，2，

；

；

．

所以的分布列為

	0	1	2

所以

．

②因為，

所以，

令，

設，

則，

因為，

所以當時，，

所以在區間上單調遞增；

當時，，

所以在區間上單調遞減；

所以當即時取最大值，

所以．

所以取最大值時，的值為6．