Question

【題目】已知的直角頂點在軸上，點，為斜邊的中點，且平行于軸.

（1）求點的軌跡方程；

（2）設點的軌跡為曲線，直線與的另一個交點為.以為直徑的圓交軸于、，記此圓的圓心為，，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1).

(2).

【解析】分析：(1) 設點的坐標為，表示點D,A坐標，再根據 列方程解得點的軌跡方程；(2)設直線的方程為，與拋物線方程聯立，根據韋達定理以及中點坐標公式得圓心坐標，解得半徑，再根據垂徑定理得，最后根據函數值域得最小值，即的最大值.

詳解：（1）設點的坐標為，則的中點的坐標為，點的坐標為.

，，

由，得，即，

經檢驗，當點運動至原點時，與重合，不合題意舍去.

所以，軌跡的方程為.

（2）依題意，可知直線不與軸重合，設直線的方程為，點、的坐標分別為、，圓心的坐標為.

由，可得，∴，.

∴，∴.

∴圓的半徑 .

過圓心作于點，則.

在中， ，

當，即垂直于軸時，取得最小值為，取得最大值為，

所以，的最大值為.