Question

（2011•朝陽區二模）設函數f（x）=lnx+（x-a）²，a∈R．
（Ⅰ）若a=0，求函數f（x）在[1，e]上的最小值；
（Ⅱ）若函數f（x）在[

1

2

，2]上存在單調遞增區間，試求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）求函數f（x）的極值點．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞）．因為f′(x)=

1

x

+2x＞0，所以f（x）在[1，e]上是增函數，由此能求出f（x）在[1，e]上的最小值．
（Ⅱ）法一：f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

，設g（x）=2x²-2ax+1，則在區間[

1

2

，2]上存在子區間使得不等式g（x）＞0成立．由拋物線g（x）=2x²-2ax+1開口向上，所以只要g（2）＞0，或g(

1

2

)＞0即可．由此能求出實數a的取值范圍．
法二：f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

，則在區間[

1

2

，2]上存在子區間使不等式2x²-2ax+1＞0成立．因為x＞0，所以2a＜(2x+

1

x

)．設g（x）=2x+

1

x

，所以2a小于函數g（x）在區間[

1

2

，2]的最大值．由此能求出實數a的取值范圍．
（Ⅲ）因為f′(x)=

2x2-2ax+1

x

，令h（x）=2x²-2ax+1．由a≤0，a＞0及判別式△的符號分別進行討論，求解函數f（x）的極值點．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞）．…（1分）
因為f′(x)=

1

x

+2x＞0，
所以f（x）在[1，e]上是增函數，
當x=1時，f（x）取得最小值f（1）=1．
所以f（x）在[1，e]上的最小值為1．…（3分）
（Ⅱ）解法一：f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

設g（x）=2x²-2ax+1，…（4分）
依題意，在區間[

1

2

，2]上存在子區間使得不等式g（x）＞0成立．…（5分）
注意到拋物線g（x）=2x²-2ax+1開口向上，
所以只要g（2）＞0，或g(

1

2

)＞0即可．…（6分）
由g（2）＞0，即8-4a+1＞0，得a＜

9

4

，
由g(

1

2

)＞0，即

1

2

-a+1＞0，得a＜

3

2

，
所以a＜

9

4

，
所以實數a的取值范圍是(-∞，

9

4

)．…（8分）
解法二：f′(x)=

1

x

+2(x-a)=

2x2-2ax+1

x

，…（4分）
依題意得，在區間[

1

2

，2]上存在子區間使不等式2x²-2ax+1＞0成立．
又因為x＞0，所以2a＜(2x+

1

x

)．…（5分）
設g（x）=2x+

1

x

，所以2a小于函數g（x）在區間[

1

2

，2]的最大值．
又因為g′(x)=2-

1

x2

，
由g′(x)=2-

1

x2

＞0，解得x＞

2

2

；
由g′(x)=2-

1

x2

＜0，解得0＜x＜

2

2

．
所以函數g（x）在區間(

2

2

，2)上遞增，在區間(

1

2

，   

2

2

)上遞減．
所以函數g（x）在x=

1

2

，或x=2處取得最大值．
又g(2)=

9

2

，g(

1

2

)=3，所以2a＜

9

2

，a＜

9

4

所以實數a的取值范圍是(-∞，

9

4

)．…（8分）
（Ⅲ）因為f′(x)=

2x2-2ax+1

x

，令h（x）=2x²-2ax+1
①顯然，當a≤0時，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，
這時f'（x）＞0，
此時，函數f（x）沒有極值點；                     …（9分）
②當a＞0時，
（ⅰ）當△≤0，即0＜a≤

2

時，
在（0，+∞）上h（x）≥0恒成立，
這時f'（x）≥0，
此時，函數f（x）沒有極值點；        …（10分）
（ⅱ）當△＞0，即a＞

2

時，
易知，當

a- a2-2

2

＜x＜

a+ a2-2

2

時，
h（x）＜0，這時f'（x）＜0；
當0＜x＜

a- a2-2

2

或x＞

a+ a2-2

2

時，
h（x）＞0，這時f'（x）＞0；
所以，當a＞

2

時，x=

a- a2-2

2

是函數f（x）的極大值點；
x=

a+ a2-2

2

是函數f（x）的極小值點．…（12分）
綜上，當a≤

2

時，函數f（x）沒有極值點；
當a＞

2

時，x=

a- a2-2

2

是函數f（x）的極大值點；
x=

a+ a2-2

2

是函數f（x）的極小值點．…（13分）

點評：本題考查函數最小值、實數取值范圍、函數極值的求法，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易錯點是分類不清導致出錯，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想的靈活運用．