Question

如圖，已知點P（m，n）（m，n＞0）在橢圓

x2

16

+

y2

9

=1上，以點P為一個頂點的內接矩形PQRS的面積最大值為（　　）

• A、24
• B、18
• C、12
• D、6

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質,基本不等式

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意利用內接矩形的面積S=2m•2n=4mn，及基本不等式即可得出．

解答： 解：由題意點P（m，n）（m，n＞0）在橢圓

x2

16

+

y2

9

=1上，∴

m2

16

+

n2

9

=1．
∴內接矩形的面積S=2m•2n=4mn=24×2×

m

4

×

n

3

≤24（

m2

16

+

n2

9

）=24．當且僅當

m2

16

=

n2

9

，

m2

16

+

n2

9

=1，即m=2

2

，n=

3 2

2

時取等號．
故橢圓

m2

16

+

n2

9

=1的內接矩形的面積的最大值為24．
故選：A．

點評：本題考查了橢圓的對稱性、內接矩形的面積的最大值問題、基本不等式的性質，屬于中檔題．