Question

已知函數f（x）=e^xsinx．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）如果對于任意的x∈[0，

π

2

]，f（x）≥kx總成立，求實數k的取值范圍；
（3）設函數F（x）=f（x）+e^xcosx，x∈[-

2011π

2

，

2013π

2

]．過點M（

π-1

2

，0）作函數F（x）圖象的所有切線，令各切點的橫坐標構成數列{x_n}，求數列{x_n}的所有項之和S的值．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導函數，由導函數大于0求其增區間，導函數小于0求其減區間；
（2）構造輔助函數g（x）=f（x）-kx，把問題轉化為求x∈[0，

π

2

]時g（x）_min≥0，然后對k的值進行分類討論，求k在不同取值范圍內時的g（x）的最小值，由最小值大于等于0得到k的取值范圍；
（3）把f（x）的解析式代入F（x）=f（x）+e^xcosx，求出函數F（x）的導函數，設出切點坐標，求出函數在切點處的導數，由點斜式寫出切線方程，把M的坐標代入切線方程，得到關于切點橫坐標的三角方程，利用函數圖象交點分析得到切點的橫坐標關于

π

2

對稱成對出現，最后由給出的自變量的范圍得到數列{x_n}的所有項之和S的值．

解答：解：（1）由于f（x）=e^xsinx．所以
f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=ex(sinx+cosx)=

2

exsin(x+

π

4

)．
當x+

π

4

∈(2kπ，2kπ+π)，即x∈(2kπ-

π

4

，2kπ+

3

4

π)時，f′（x）＞0；
當x+

π

4

∈(2kπ+π，2kπ+2π)，即x∈(2kπ+

3

4

π，2kπ+

7

4

π)時，f′（x）＜0．
所以f（x）的單調遞增區間為(2kπ-

π

4

，2kπ+

3

4

π)（k∈Z），
單調遞減區間為(2kπ+

3

4

π，2kπ+

7

4

π)（k∈Z）．
（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，要使f（x）≥kx總成立，只需在x∈[0，

π

2

]時g（x）_min≥0．
對g（x）求導得g′（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx），則h′（x）=2e^xcosx＞0，（x∈(0，

π

2

)）
所以h（x）在在[0，

π

2

]上為增函數，所以h(x)∈[1，e

π

2

]．
對k分類討論：
①當k≤1時，g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在[0，

π

2

]上為增函數，所以g（x）_min=g（0）=0，
即g（x）≥0恒成立；
②當1＜k＜e

π

2

時，g′（x）=0在上有實根x₀，因為h（x）在(0，

π

2

)上為增函數，
所以當x∈（0，x₀）時，g′（x）＜0，所以g（x₀）＜g（0）=0，不符合題意；
③當k≥e

π

2

時，g′（x）≤0恒成立，所以g（x）在(0，

π

2

)上為減函數，
則g（x）＜g（0）=0，不符合題意．
綜合①②③可得，所求的實數k的取值范圍是（-∞，1]．
（3）因為F（x）=f（x）+e^xcosx=e^x（sinx+cosx），所以F′（x）=2e^xcosx，
設切點坐標為(x0，ex0(sinx0+cosx0))，則斜率為f′(x0)=2ex0cosx0，
切線方程為y-ex0(sinx0+cosx0)=2ex0cosx0(x-x0)，
將M(

π-1

2

，0)的坐標代入切線方程，得
-ex0(sinx0+cosx0)=2ex0cosx0(

π-1

2

-x0)
-tanx0-1=-2(x0-

π-1

2

)，即tanx0=2(x0-

π

2

)，
令y₁=tanx，y2=2(x-

π

2

)，則這兩個函數的圖象均關于點(

π

2

，0)對稱，
它們交點的橫坐標也關于

π

2

對稱成對出現，
方程tanx=2(x-

π

2

)x∈[-

2011π

2

，

2013π

2

]的根，
即所作的所有切線的切點橫坐標構成的數列{x_n}的項也關于

π

2

對稱成對出現，
在[-

2011π

2

，

2013π

2

]內共構成1006對，每對的和為π，
因此數列{x_n}的所有項的和S=1006π．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數求函數在閉區間上的最值，考查了數學轉化思想方法和分類討論的數學思想方法，訓練了利用對稱性求方程根的和的問題，綜合考查了學生的計算能力，是具有較高難度的題目．