Question

某生產飲料的企業擬投入適當的廣告費對產品進行促銷，在一年內，預計年銷量Q(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數關系為Q＝(x≥0)，已知生產此產品的年固定投入為3萬元，每生產1萬件此產品需再投入32萬元．若每件售價為“年平均每件成本的150％”與“年平均每件所占廣告費的50％”之和．

(1)試將利潤y(萬元)表示為年廣告費x(萬元)的函數，如果年廣告費投入100萬元，企業是虧損還是盈利？

(2)當年廣告費投入多少萬元時，企業年利潤最大？

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)由題意，每年產銷Q萬件，共計成本為(32Q＋3)萬元，銷售收入是(32Q＋3)·150％＋x·50％． 　　∴年利潤y＝(年收入)－(年成本)－(年廣告費) 　　＝(32Q＋3－x)＝(32×＋3－x)＝(x≥0)． 　　∴所求的函數關系式為y＝(x≥0)，當x＝100時，y＜0，即當年廣告費投入100萬元時，企業虧損． 　　(2)由y＝(x≥0)可得 　　＝． 　　∴令＝0，則x2＋2x－63＝0． 　　∴x＝－9(舍去)或x＝7． 　　又x∈(0，7)時，(x)＞0；x∈(7，＋∞)時，(x)＜0， 　　∴f(x)極大值＝f(7)＝42． 　　又∵在(0，＋∞)上只有一個極值點， 　　∴f(x)max＝f(x)極大值＝f(7)＝42． 　　∴當年廣告費投入7萬元時，企業年利潤最大．