Question

(本題滿分14分)
如圖1，直角梯形中, 四邊形是正方形,,.將正方形沿折起，得到如圖２所示的多面體,其中面面,是中點．
(1) 證明：∥平面；
(2) 求三棱錐的體積.
     
圖１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　圖２

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要考查中位線、平行四邊形的證明、線面平行、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問，作出輔助線MN，N為中點，在中，利用中位線得到，且，結合已知條件，可證出四邊形ABMN為平行四邊形，所以，利用線面平行的判定，得∥平面；第二問，利用面面垂直的性質，判斷面，再利用已知的邊長，可證出，則利用線面垂直的判定得平面BDE，再利用面面垂直的判定得平面平面，所以作，則利用面面垂直的性質，可得平面，則為三棱錐的高，再利用三棱錐的體積公式求體積即可.
(1)證明：取中點，連結．

在△中，分別為的中點，所以∥ ．由已知∥，，所以∥，且．所以四邊形為平行四邊形，所以∥．  ３分
又因為平面，且平面，
所以∥平面．       4分
（２）面面，面，
面面，，面
又面，       6分
梯形中，,，,
所以，, ,
,所以, 平面       8分
又平面,所以，平面平面　
作,則平面，是所求三棱錐高       10分

在直角三角形中，由面積關系可得，又
所以，              14分
另解：∥,面,面,∥平面,
兩點到平面距離相等       7分
因為翻折后垂直關系不變，所以平面,是三棱錐高  9分
面面，面，面面，，面，, 是直角三角形      11分
　 14分