Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，F關于原點的對稱點為P，過F作x軸的垂線交拋物線于M，N兩點，有下列四個命題：
①△PMN必為直角三角形；
②△PMN必為等邊三角形；
③直線PM必與拋物線相切；
④直線PM必與拋物線相交．
其中正確的命題是（　　）

• A、①③
• B、①④
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：依題意，可求得F、P、M、N四點的坐標，由F為MN的中點，且|PF|=

1

2

|MN|，易判斷△PMN為直角三角形，可判斷①與②；
直線PM的方程為y=x+

p

2

，與拋物線y²=2px聯立消去x，易得，△=4p²-4p²=0，可判斷③與④，從而可得答案．

解答： 解：由已知得F（

p

2

，0），P（-

p

2

，0），M（

p

2

，p），N（

p

2

，-p），則F為MN的中點，且|PF|=

1

2

|MN|，
∴△PMN為直角三角形，易得|PM|≠|MN|，故①正確，②不正確；
直線PM的方程為y=x+

p

2

，與拋物線y²=2px聯立消去x，得y²-2py+p²=0，△=4p²-4p²=0，
∴直線PM與拋物線相切，故③正確，④不正確．
故選：A．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查拋物線的標準方程與幾何性質，考查作圖、分析與綜合運算能力，考查轉化思想與方程思想．