Question

已知a，b，c∈R，且三次方程f(x)＝x³－ax²＋bx－c＝0有三個實根x₁，x₂，x₃．

(1)類比一元二次方程根與系數的關系，寫出此方程根與系數的關系；

(2)若a，b，c均大于零，證明：x₁、x₂、x₃都大于零；

(3)若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f(x)在x＝α，x＝β處取得極值，且－1＜α＜0＜β＜1，試求此方程三個根兩兩不等時c的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知得，比較兩邊系數， 　　得…………2分 　　(2)由c＞0，得，三數中或全為正數或一正二負． 　　若為一正二負，不妨設得 　　 　　又＝ 　　這與b＞0矛盾，所以全為正數，…………6分 　　(3)令有三個不等的實數根，則函數 　　有一個極大值和一個極小值，日極大值大于0，極小值小于0． 　　由已知，得有兩個不等的實根 　　 　　 　　又 　　…………9分 　　處取得極大值，在x＝處取得極小值． 　　故要有三個不等的實數根，則必須得 　　………………12分