Question

已知數列 {a_n}和{b_n}滿足 a1=m，an+1=λan+n，bn=an-

2n

3

+

4

9

，{b_n}的前n項和為T_n．
（Ⅰ）當m=1時，求證：對于任意的實數λ，{a_n}一定不是等差數列；
（Ⅱ） 當λ=-

1

2

時，試判斷{b_n}是否為等比數列；
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，若1≤T_n≤2對任意的n∈N^*恒成立，求實數m的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把m=1代入a_n+1=λa_n+n，求出a₁，a₂和a₃，假設是等差數列，推出矛盾，從而進行證明；
（Ⅱ）把λ=-

1

2

代入an+1=λan+n，bn=an-

2n

3

+

4

9

，對b_n進行化簡，對于首項要進行討論，從而進行判斷；
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，若1≤T_n≤2對任意的n∈N^*恒成立，求出T_n的最大值和最小值即可，對于n的奇偶性要進行討論，求出T_n的范圍，從而求解；

解答：解：（Ⅰ）當m=1時，a1=1．a2=λ+1，a3=λ(λ+1)+2=λ2+λ+2…（2分）
假設{an}是等差數列，由a1+a3=2a2，得λ2+λ+3=2(λ+1)
即λ²-λ+1=0，△=-3＜0，方程無實根．
故對于任意的實數λ，
{a_n}一定不是等差數列…（5分）
（Ⅱ）當λ=-

1

2

時，an+1=-

1

2

an+n，bn=an-

2n

3

+

4

9

bn+1=an+1-

2(n+1)

3

+

4

9

=(-

1

2

an+n)-

2(n+1)

3

+

4

9

=-

1

2

an+

n

3

-

2

9

=-

1

2

(an-

2n

3

+

4

9

)=-

1

2

bn又b1=m-

2

3

+

4

9

=m-

2

9

∴當m≠

2

9

時，{bn}是以m-

2

9

為首項，-

1

2

為公比的等比數列…（9分）
當m=

2

9

時，{bn}不是等比數列…（10分）
（Ⅲ）當m=

2

9

，Tn=0，不成立…（11分）
當m≠

2

9

時Tn=

2

3

(m-

2

9

)[1-(-

1

2

)n]
當n為奇數時[1-(-

1

2

)n]∈(1，

3

2

]，
當n為偶數[1-(-

1

2

)n]∈[

3

4

，1)…（14分）
∵1≤T_n≤2對任意的n∈N^*恒成立，
∴

2 3 (m- 2 9 )× 3 2 ≤2 2 3 (m- 2 9 )× 3 4 ≥1

解得m=

20

9

從而求得m=

20

9

…（16分）

點評：此題主要考查等差數列前n項和公式及其應用，第三問需要討論n的奇偶性，有一定的難度，解題過程中用到了轉化的思想，是一道中檔題；