【題目】已知橢圓C的方程為 
+ 
=1（a＞b＞0），雙曲線 ﹣ =1的一條漸近線與x軸所成的夾角為30°，且雙曲線的焦距為4 
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過右焦點F的直線l，交橢圓于A、B兩點，記△AOF的面積為S1 ， △BOF的面積為S2 ， 當S1=2S2時，求 
的值．
【答案】
（1）解：由一條漸近線與x軸所成的夾角為30°，則 
=tan30°= 
，即a2=3b2，
由2c=4 
．c=2 ，則a2+b2=8，
解得：a2=8，b2=2，
∴橢圓的標準方程： 
（2）解：由（1）可知：F（2，0），直線AB的方程：x=ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
，整理得：（t2+3）y2+4ty﹣2=0，
y1+y2=﹣ 
，y1y2=﹣ 
，
由S1=2S2時，則y1=﹣2y2時，解得：t2= 
，
將t2= ，代入y1y2=﹣ 
，
x1x2=（ty1+2）（ty2+2）=t2y1y2+2t（y1+y2）+4，
= 
，
由 
=x1x2+y1y2= ﹣ = 
，得：
=
【解析】（1）由雙曲線的漸近線方程及斜率公式，即可求得a2=3b2，c=2 ，即a2+b2=8，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）設直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及y1=﹣2y2，即可求得t的值，分別求得y1y2，x1x2，利用向量數量積的坐標運算，即可求得 
的值．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，且
.
（1）試求
的值；
（2）用定義證明函數
在
上單調遞增；
（3）設關于
的方程
的兩根為
，試問是否存在實數
，使得不等式
對任意的
及
恒成立？若存在，求出
的取值范圍；若不存在說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為 
與p，且乙投球2次均未命中的概率為 
．
（Ⅰ）求乙投球的命中率p；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數記為ξ，求ξ的分布列和數學期望．
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【題目】某企業想通過做廣告來提高銷售額，經預測可知本企業產品的廣告費x（單位：百萬元）與銷售額y（單位：百萬元）之間有如下對應數據：
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
由表中的數據得線性回歸方程為 
= 
x+ 
，其中 =6.5，由此預測當廣告費為7百萬元時，銷售額為萬元．
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【題目】在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知2cos（B﹣C）﹣1=4cosBcosC．
（1）求A；
（2）若a= 
，△ABC的面積為 
，求b+c．
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【題目】設定義在
上的函數
（
， 
），給出以下四個論斷：
①
的周期為
；②
在區間
上是增函數；③
的圖象關于點
對稱；④
的圖象關于直線
對稱.以其中兩個論斷作為條件，另兩個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題（寫成“
”的形式）__________．（其中用到的論斷都用序號表示）
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【題目】某某車站在春運期間為了改進服務，隨機抽樣調查了100名旅客從開始在購票窗口排隊到購到車票所用的時間t(以下簡稱購票用時，單位：min)．下面是這次抽樣的頻率分布表和頻率分布直方圖，解答下列問題：
分組 | 頻數 | 頻率 | |
一組 | 0≤t<5 | 0 | 0 |
二組 | 5≤t<10 | 10 | |
三組 | 10≤t<15 | 10 | 0.10 |
四組 | 15≤t<20 | ||
五組 | 20≤t<25 | 30 | 0.30 |
合計 | 100 | 1.00 | |
(1)這次抽樣的樣本容量是多少？
(2)在表中填寫缺失的數據并補全頻率分布直方圖．
(3)旅客購票用時的平均數可能落在哪一個小組？
(4)若每增加一個購票窗口可使平均購票用時縮短5 min，要使平均購票用時不超過10 min，那么你估計最少要增加幾個窗口？
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