Question

【題目】已知函數，且.

（1）試求的值；

（2）用定義證明函數在上單調遞增；

（3）設關于的方程的兩根為，試問是否存在實數，使得不等式對任意的及恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）見解析；（3.

【解析】試題分析：（1）由，即可求出的值；（2）利用單調增函數的定義即可證明；（3）化簡為，利用韋達定理可得，根據，得出的取值范圍，不等式對任意的恒成立等價為在恒成立，令，根據（2）求出，即可求出的取值范圍.

試題解析：(1)∵

∴

∴

（2）∵

∴

設，

∴，

∵

∴

∴

∴

又∵，

∴

∴

∴在上單調遞增.

（3）∵

∴

∴

又∵

∴，故只需當，使得恒成立，即在恒成立，也即在恒成立，

∴令，

由第（2）問可知在上單調遞增，

同理可得在上單調遞減.

∴

∴

故的取值集合是.