Question

某工廠經奧組委授權生產銷售倫敦奧運會吉祥物（精靈”文洛克”）飾品，生產該飾品的全部成本c與生產的飾品的件數x（單位：萬件）滿足函數c=1200+

2

75

x3（單位：萬元）；該飾品單價p（單位：元）的平方與生產的飾品件數x（單位：萬件）成反比，現已知生產該飾品100萬件時，其單價p=50元．且工廠生產的飾品都可以銷售完．設工廠生產該飾品的利潤為f（x）（萬元）（注：利潤=銷售額-成本）
（Ⅰ）求函數y=f（x）的表達式．
（Ⅱ）當生產該飾品的件數x（萬件）為多少時，工廠生產該飾品的利潤最大．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出反比例關系式，代入x=100，p=50求出k的值，然后由題目給出的關系式列式；
（Ⅱ）求出（Ⅰ）中所得函數的導函數，利用導數求函數的極大值，也就是最大值．

解答：解：（Ⅰ）依題意：設p2=

k

x

，代入x=100，p=50，
得：k=25×10⁴，∴p=

500

x

，
故f(x)=500

x

-1200-

2

75

x3（x＞0）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′(x)=

250

x

-

6

75

x2
則f′(x)＞0?

250

x

＞

6

75

x2?0＜x＜25
所以函數f（x）在（0，25）上遞增，在（25，+∞）上遞減，
所以函數f（x）在x=25處有極大值．
因為f（x）在（0，+∞）上只有唯一極值，所以函數f（x）在x=25處有最大值．
故當生產該飾品25萬件時，可以獲得最大利潤．

點評：本題考查了函數的模型的選擇及應用，訓練了簡單的建模思想方法，考查了利用導數求函數的最值，是中檔題．