Question

【題目】已知等比數列{an}的前n項和為Sn，公比q＞0，S2=2a2-2，S3=a4-2，數列{an}滿足a2=4b1，nbn+1-（n+1）bn=n2+n，（n∈N*）.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）證明數列{}為等差數列；

（3）設數列{cn}的通項公式為：Cn=，其前n項和為Tn，求T2n.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）由等比數列的基本量法求解；

（2）求得，再證為常數即可；

（3）先并項，設，然后有，用錯位相減法計算．

（1）由于等比數列{an}的前n項和為Sn，公比q>0，S2=2a2-2，S3=a4-2，

所以S3-S2=a4-2a2=a3，

整理得，

由于a2≠0，

所以q2-q-2=0，由于q>0，

解得q=2.

由于a1+a2=2a2-2，解得a1=2，

所以.

（2）數列{an}滿足a2=4b1，解得b1=1，

由于nbn+1-（n+1）bn=n2+n，

所以（常數）.

所以數列數列{}是以1為首項1為公差的等差數列.

（3）由于數列數列{}是以1為首項1為公差的等差數列.

所以，解得

由于數列{cn}的通項公式為：Cn=，

所以令==（4n-1）4n-1.

所以①，

4②，

①-②得：-（4n-1）4n，

整理得，

故：.