Question

【題目】橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，，面積的最大值為

（1）求橢圓的方程；

（2）是橢圓上與不重合的一點(diǎn)，證明：直線的斜率之積為定值；

（3）當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，軸，垂足為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)求出a，根據(jù)面積關(guān)系求出b；

（2）設(shè)出點(diǎn)與的坐標(biāo)，滿足橢圓方程，計(jì)算兩個(gè)斜率之積即可得到定值；

（3）先證明是直角三角形，用直角邊乘積的一半表示面積，結(jié)合基本不等式或勾型函數(shù)求面積最值.

（1）由題可設(shè)橢圓的方程，

，，

設(shè)，

面積，

最大值為2，即，解得，

所以橢圓的方程為：；

（2）設(shè)是橢圓上與不重合的一點(diǎn)，

，，兩式作差：，

即：

則直線的斜率之積，

所以直線的斜率之積為定值；

（3）點(diǎn)在第一象限，，設(shè)直線的方程，

由得：，

得，，

直線的斜率，其方程為，

由得：

設(shè)，則是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理：

，

，即，

所以，

所以的面積

，設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，

，

根據(jù)勾型函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，

取得最大值，

即當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.